KEYFİ TİPLİ TENSÖR DEMETLERİN GEOMETRİSİ

İlk kez Riemann’ın “Mannigfaltigkeit” adıyla giriş yaptığı; Weyl’in 1923 yılında ayrıntılı açıkladığı ve Clifford’un İngilizce’ye “manifoldness” olarak çevirdiği manifold (çok katlı) kavramı, yüzeyleri yüksek boyutlara genelleştirebilmek amacıyla ortaya çıkmıştır. Bir manifold, yerel olarak Öklid uzayına homeomorf olan bir Hausdorff uzayı olarak tanımlanmıştır. Dolayısıyla manifoldlar yerel kompakt topolojik uzay olmak zorundadır. Buna ek olarak, Whitney (1936), n  boyutlu bir M manifoldunun ayrılabilir olması, yani sayılabilir baza sahip olması durumunda, M nin en fazla 2n  içine batırılabileceğini (immersiyon) ya da en fazla 2 1 n  içine yataklanabileceğini (embedding) göstermiştir (Şuhubi 2008). Manifoldların çoğunun vektör uzayı yapısına sahip olmaması, manifold üzerinde türevleme ve vektör alanı yerleştirme gibi analiz işlemlerinin bilinen anlamda yapılmasına engel teşkil eder. Bunun üstesinden gelebilmek için, manifold üzerinde, manifoldla Öklid uzayı arasında tanımlanan homeomorfizmler olan haritalar ve bu haritaların birleşimi olan atlaslarla gerçekleştirilen bir “diferensiyellenebilir yapı” kurulmalıdır. Bir manifoldun üzerinde diferensiyellenebilir yapı varsa bu manifolda diferensiyellenebilir manifold denir. Manifoldun topolojik yapısı ile üzerindeki diferensiyellenebilir yapı arasındaki ilişki, 2011 Abel Ödülü sahibi John Milnor tarafından incelenmiştir. Uzun süre bir diffeomorfizm altında manifold üzerinde bir tek diferensiyellenebilir yapının tanımlanabileceği inancı hâkim olmuştur. Milnor bu durumun 7 S küresinde geçerli olmadığını göstermiştir. Daha sonra yapılan çalışmalarda, 10  boyutlu uzaylarda, üzerinde hiçbir şekilde diferensiyellenebilir yapı tanımlanamayan manifoldların varlığı gösterilmiştir. Diğer taraftan, 4  boyutlu Öklid uzaylarında birden fazla; 4  boyut dışındaki Öklid uzaylarında ise tek diferensiyellenebilir yapının olduğu da ispatlanmıştır (Şahin 2013).

 

Kaynak: earsiv.atauni.(edu.tr)